11 класс алгебра 02.04.2020

Тема: " Иррациональные выражения"
Проработайте пример решения выражения. Повторите материал темы.

Чтобы раскрыть скобки, можно:

а) использовать распределительный закон один или несколько раз:

Например:

б) использовать готовые результаты раскрытия скобок – формулы сокращенного умножения (ФСУ), например формулу квадрата суммы:

Например:

Для разложения на множители можно применить следующие методы:

а) вынести общий множитель за скобки (использовать распределительный закон справа налево):

Например:

б) использовать метод группировки, поочередно вынося за скобки общие множители (то есть несколько раз применить вынесение общего множителя за скобки), например:

в) использовать ФСУ справа налево, например формулу разности квадратов:

г) для разложения на множители квадратного трехчлена  можно решить соответствующее квадратное уравнение:

Тогда трехчлен можно представить в виде:

,

где  – корни этого квадратного уравнения.

Данный метод можно расширить. В трехчленах вида  можно вынести за скобки коэффициент  и свести задачу к предыдущей:

Например:

Ищем корни полученного уравнения:

Находим дискриминант:

Извлекаем корень из дискриминанта:

Находим корни:

Тогда:

Для получения разложения исходного многочлена умножаем произведение на :

Чтобы избавиться от дроби, можно умножить  на первую скобку:

Обратите внимание, что этот же результат можно было получить и методом группировки: 

Но для этого нужно подобрать необходимое представление слагаемого с  в виде суммы. Использование формулы через корни квадратного уравнения дает универсальный алгоритм.

В многочленах вида  можно вынести за скобки  (при условии ):

Такие выражения называются однородными, т. к. суммарная степень переменных в каждом из слагаемых выражения одинакова, в данном примере она равна  (; ; ):

Сделаем замену:

И мы сведем задачу к предыдущей:

Пример:

Сделаем замену:

Получаем выражение:

Теперь нужно разложить на множители многочлен в скобках:

Ищем корни полученного уравнения:

Находим дискриминант:

Извлекаем корень из дискриминанта:

Находим корни:

Тогда:

Для получения разложения исходного многочлена умножаем произведение на :

Чтобы избавиться от дробей, распишем  так:

Затем умножим первую скобку на , вторую – на :

Вернемся к исходному выражению с учетом замены:

Тогда:

Снова избавимся от дробей. Для этого распишем: 

Первый  умножим на первую скобку, второй  – на вторую:

Таким образом, мы разложили на множители исходный многочлен:

Итак, мы выделили два основных действия с целыми алгебраическими выражениями: раскрытие скобок и разложение на множители.

Но когда какое действие нужно применить для упрощения? Однозначно на этот вопрос ответить нельзя: все зависит от того, что мы дальше собираемся делать с полученным выражением. Но можно дать несколько советов:

1. при каждом преобразовании искать и приводить подобные слагаемые;
2. постараться разложить выражение на множители, если это не удалось – раскрыть скобки и разложить на множители после приведения подобных слагаемых;
3. если это возможно, стараться избавлять от дробей путем раскрытия скобок.

Выполнить задания:

Огромная просьба!!!!  Делайте, пожалуйста, четкое фото!!!

 Фото результата отправить на электронную почту inna.genadievna0610@gmail.com 

или любым другим удобным для вас способом.